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En mathématiques, une approximation multirésolution désigne une suite de sous-espaces vectoriels vérifiant un ensemble de caractéristiques.

• Définition

• Références

• Bibliographie

Une suite ( V j ) j ∈ ∈ Z {\displaystyle (V_{j})_{j\in \mathbb {Z} }} de sous-espaces vectoriels fermés de L2(R) est une approximation multirésolution si elle vérifie les cinq propriétés suivantescite-ref-1[1] :

• ∀ ∀ j ∈ ∈ Z V j + 1 ⊂ ⊂ V j {\displaystyle \forall j\in \mathbb {Z} \quad V_{j+1}\subset V_{j}}

• ⋃ ⋃ j ∈ ∈ Z V j ¯ ¯ = L 2 ( R ) et ⋂ ⋂ j ∈ ∈ Z V j = { 0 } {\displaystyle {\overline {\bigcup _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}}}=L^{2}(\mathbb {R} ){\text{ et }}\bigcap _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}=\{0\}}

• ∀ ∀ j ∈ ∈ Z f ∈ ∈ V j ⟺ ⟺ f ( 2 ⋅ ⋅ ) ∈ ∈ V j + 1 {\displaystyle \forall j\in \mathbb {Z} \quad f\in V_{j}\iff f(2\cdot )\in V_{j+1}}

• ∀ ∀ ( j , k ) ∈ ∈ Z 2 f ∈ ∈ V j ⟺ ⟺ f ( ⋅ ⋅ − − 2 − − j k ) ∈ ∈ V j {\displaystyle \forall (j,k)\in \mathbb {Z} ^{2}\quad f\in V_{j}\iff f(\cdot -2^{-j}k)\in V_{j}}

• Il existe θ θ ∈ ∈ V 0 {\displaystyle \theta \in V_{0}} tel que ( θ θ ( ⋅ ⋅ − − n ) n ∈ ∈ Z ) {\displaystyle \left(\theta (\cdot -n)_{n\in \mathbb {Z} }\right)} soit une base de Riesz de V 0 {\displaystyle V_{0}} .

cite-note-11. ↑ mallat1989st-phane-mallat1989(en) Stéphane Mallat, « Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of L2(R) », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 315, no 1,‎ 1989, p. 69-87 (DOI 10.2307/2001373, lire en ligne).

Yves Meyer, Ondelettes et opérateurs, vol. I, Hermann, 1990

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